Sistemas digitales: Tablas de verdad

Nombre; Angel Isaac Villa Ramirez

curso: 1 de bachilerato tecnico b

video sobre Circuitos digitales 4 Operadores lógicos AND OR

AND
En este video veremos los operadores and y or

operadores q nesecitan mas de dos entradas el primer operador es el q se conoce como Y o en ingles se le conoce como AND .and nesecita mas de dos entradas para poder trabajar como va a trabajar el and nesecitamos dos entradas 1 llamaremos A y la otra B y una salida q llamaremos Z vamos a hacer la tabla de verdad como tenemos dos variables dependientes se q voy a nesecitar de 4 reulones . el anda puede ser verdadero cuando ls dos variables son verdaderas
EL AND TAMBIEN SE PUEDE REPRESENTAR DE ESTA FORMA
AQUI LAS ENTRAS Y SALIDAS DE AND

OR

El operador LÓGICO OR ( ) devuelve el valor booleano si uno o ambos operandos son y || true devuelve lo true false contrario. Los operandos se convierten implícitamente al tipo antes de la evaluación bool y el resultado es de tipo bool . ... De lo contrario, se evalúa como false y se imprime el valor 0

Asi funciona las entradas y salidas

La puerta NOR o compuerta NOR es una puerta lógica digital que implementa la disyunción lógica negada, se comporta de acuerdo a la tabla de verdad mostrada a la derecha. Cuando todas sus entradas están en 0 (cero) o en BAJA, su salida está en 1 o en ALTA, mientras que cuando una sola de sus entradas o ambas están en 1 o en ALTA, su SALIDA va a estar en 0 o en BAJA. NOR es el resultado de la negación del operador OR. También puede ser visto como una puerta AND con todas las entradas invertidas. El NOR es una operación completamente funcional. Las puertas NOR se pueden combinar para generar cualquier otra función lógica. En cambio, el operador OR es monótono, ya que solo se puede cambiar BAJA a ALTA, pero no viceversa.
En la mayoría, pero no en todas, las implementaciones de circuitos, la negación viene libre—incluyendo CMOS y TTL. En tales familias lógicas, el OR es la operación más complicada; puede utilizar un NOR seguido de un NOT. Una excepción importante es que algunas formas de la familia
2)
video sobre:
Circuitos digitales 3 Operadores lógicos buffer y not

FUNCIÓN BÚFFER
La puerta lógica SI realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias (buffer en inglés). La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta SI es: F=A
NOT
FUNCIÓN NOT
Esta operación se indica con una barra sobre la variable o por medio de un apóstrofe en el lado superior derecho de la variable, en este unidad emplearemos esta última notación (al menos que se indique lo contrario)=. El apóstrofe (’) es un operador algebraico que invierte el valor de una variable, es decir, si X denota la señal de entrada de un inversor, entonces X’ representa el complemento de tal señal. Ejemplo Sí X = 0 entonces X’ = 1

3)
VIDEOS SOBRE :
Circuitos digitales 2 Tablas de verdad

Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdades, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.
Definiciones en el cálculo lógico[editar]
Artículo principal: Cálculo lógico
Para establecer un Sistema formal se establecen las definiciones de los operadores. Las definiciones se harán en función del fin que se pretenda al construir el sistema que haga posible la formalización de argumentos:
Como razonamientos deductivos lógico-lingüísticos
Como construcción de un sistema matemático puro
Como una aplicación lógica en un Circuito de conmutación.
Verdad[editar]
El valor verdadero se representa con la letra V; si se emplea notación numérica se expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico, el circuito está cerrado cuando está presente la afirmación de V.
${\begin{array}{|c|c|}\hline &\top \\\hline &V\\\hline \end{array}}$
Falso[editar]
El valor falso F; si se emplea notación numérica se expresa con un cero: 0; en un circuito eléctrico, el circuito está abierto.
${\begin{array}{|c|c|}\hline &\bot \\\hline &F\\\hline \end{array}}$
Variable[editar]
Para una variable lógica A, B, C, ... pueden ser verdaderas V, o falsas F, los operadores fundamentales se definen así:
${\begin{array}{|c|c|}\hline A&A\\\hline V&V\\F&F\\\hline \end{array}}$
Negación[editar]
La negación operador que se ejecuta, sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.
${\begin{array}{|c|c|}\hline A&\neg A\\\hline V&F\\F&V\\\hline \end{array}}$
Conjunción[editar]
La conjunción es un operador, que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir, es verdadera cuando ambas son verdaderas.
En términos más simples, será verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas.
La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\land B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.
en simbología "∧" hace referencia al conector "y"
Disyunción[editar]
La disyunción es un operador lógico que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
En términos más simples, será verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera de lo contrario será falsa.
La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\lor B\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.
Implicación o Condicional[editar]
El condicional material es un operador que actúa sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Rightarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo fundamental.
Equivalencia, doble implicación o Bicondicional[editar]
La bicondicional es una operación binaria lógica que asigna el valor verdadero cuando las dos variables son iguales y el valor falso cuando son diferentes.
La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&A\Leftrightarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo fundamental.
Número de combinaciones[editar]
Partiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: V, o falso: F, por combinatoria, podemos saber que el número total de combinaciones: nc, que se pueden presentar es:
$nc=2^{n}$
el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a n, esto es, el número de combinaciones: nc, tiene crecimiento exponencial respecto al número de variable n:
${\begin{array}{r|r}n&nc\\\hline 0&1\\1&2\\2&4\\3&8\\4&16\\5&32\\\ldots &\ldots \\n&2^{n}\end{array}}$
Si consideramos que un sistema combinacional de n variables binarias, puede presentar un resultado verdadero: V, o falso: F, para cada una de las posibles combinaciones de entrada tenemos que se pueden construir un número de funciones: nf con n variables de entrada, donde:
$nf=x^{nc}=2^{2^{n}}$
Que da como resultado la siguiente tabla:
${\begin{array}{r|r}n&nf\\\hline 0&2\\1&4\\2&16\\3&256\\4&65_{.}536\\5&4_{.}294.967.296\\\ldots &\ldots \\n&2^{2^{n}}\end{array}}$
Para componer una tabla de verdad, pondremos las n variables en una línea horizontal, debajo de estas variables desarrollamos las distintas combinaciones que se pueden formar con V y F, dando lugar a las distintas nc, número de combinaciones. Normalmente solo se representa la función para la que se confecciona la tabla de verdad, y en todo caso funciones parciales que ayuden en su cálculo, en la figura, se pueden ver todas las funciones posibles nf, que pueden darse para el número de variables dado.
Así podemos ver que para dos variables binarias: A y B, n= 2 , que pueden tomar los valores V y F, se pueden desarrollar cuatro combinaciones: nc= 4, con estos valores se pueden definir dieciséis resultados distintos, nf= 16, cada una de las cuales sería una función de dos variables binarias. Para otro número de variables se obtendrán los resultados correspondientes, dado el crecimiento exponencial de nf, cuando n toma valores mayores de cuatro o cinco, la representación en un cuadro resulta compleja, y si se quiere representar las combinaciones posibles nf, resulta ya complejo para n= 3.
Para cero variables[editar]
Un circuito sin variables: n= 0, puede presentar una combinación posible: nc=1, con dos funciones posibles: nf=2. Que serían el circuito cerrado permanentemente, y el circuito abierto permanentemente.
${\begin{array}{| ||c|c|}\hline &1&2\\&f_{1}()&f_{2}()\\\hline &V&F\\\hline \end{array}}$
En este caso se puede ver dos funciones con cero variables, caso 1 y 2, que no interviene ninguna variable.
Cada uno de estos circuitos admite una única posición y hay dos circuitos posibles.
Para una variable[editar]
El caso de una variable binaria: n= 1, que puede presentar dos combinaciones posibles: nc=2, con 4 funciones posibles: nf=4.
${\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline &1&2&3&4\\A&f_{1}(A)&f_{2}(A)&f_{3}(A)&f_{4}(A)\\\hline V&V&V&F&F\\F&V&F&V&F\\\hline \end{array}}$
Se pueden ver las cuatro funciones, de una variable, del caso 1 al 4, siendo A la variable. Puede verse que:
$f_{1}(A)=f_{1}()$
$f_{4}(A)=f_{2}()$
Para dos variables[editar]
Considérese dos variables proposicionales A y B.² Cada una puede tomar uno de dos valores de verdad: o V (verdadero), o F (falso). Por lo tanto, los valores de verdad de A y de B pueden combinarse de cuatro maneras distintas: o ambas son verdaderas; o A es verdadera y B falsa, o A es falsa y B verdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con una tabla simple:
${\begin{array}{|c|c|}\hline A&B\\\hline V&V\\V&F\\F&V\\F&F\\\hline \end{array}}$
Considérese además a: f, como una operación o función lógica que realiza una función de verdad al tomar los valores de verdad de A y de B, y devolver un único valor de verdad. Entonces, existen 16 funciones distintas posibles, y es fácil construir una tabla que muestre qué devuelve cada función frente a las distintas combinaciones de valores de verdad de A y de B.
${\begin{array}{|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&1&2&3&4&5&6&7&8\\A&B&f_{1}(A,B)&f_{2}(A,B)&f_{3}(A,B)&f_{4}(A,B)&f_{5}(A,B)&f_{6}(A,B)&f_{7}(A,B)&f_{8}(A,B)\\\hline V&V&V&V&V&V&V&V&V&V\\V&F&V&V&V&V&F&F&F&F\\F&V&V&V&F&F&V&V&F&F\\F&F&V&F&V&F&V&F&V&F\\\hline &&9&10&11&12&13&14&15&16\\A&B&f_{9}(A,B)&f_{10}(A,B)&f_{11}(A,B)&f_{12}(A,B)&f_{13}(A,B)&f_{14}(A,B)&f_{15}(A,B)&f_{16}(A,B)\\\hline V&V&F&F&F&F&F&F&F&F\\V&F&V&V&V&V&F&F&F&F\\F&V&V&V&F&F&V&V&F&F\\F&F&V&F&V&F&V&F&V&F\\\hline \end{array}}$
Las dos primeras columnas de la tabla muestran las cuatro combinaciones posibles de valores de verdad de A y de B. Hay por lo tanto 4 líneas, y las 16 columnas despliegan todos los posibles valores que puede devolver una función.
De esta forma podemos conocer mecánicamente, mediante algoritmo, los posibles valores de verdad de cualquier conexión lógica interpretada como función, siempre y cuando definamos los valores que devuelva la función.
Se hace necesario, pues, definir las funciones que se utilizan en la confección de un sistema lógico.
De especial relevancia se consideran las definiciones para el Cálculo de deducción natural y las puertas lógicas en los circuitos electrónicos. Puede verse que:
$f_{1}(A,B)=f_{1}(A)=f_{1}()$
$f_{16}(A,B)=f_{4}(A)=f_{2}()$
Y también que:
$f_{4}(A,B)=f_{2}(A)$
$f_{6}(A,B)=f_{2}(B)$
Y que:
$f_{13}(A,B)=f_{3}(A)$
$f_{11}(A,B)=f_{3}(B)$
Tablas de verdad[editar]
Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran, encontrándonos con los consiguientes casos:
Tautologías[editar]
Artículo principal: Tautología
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&\neg A&A\lor \neg A\\\hline V&F&V\\F&V&V\\\hline \end{array}}$
Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
$A\lor \neg A$
Siguiendo la mecánica algorítmica de la tabla anterior construiremos su tabla de verdad, tenemos la variable A en disyunción con su contradicción, si A es verdad, su negación es falsa y si A es falsa su negación es verdad, en cualquier caso una de las dos alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos.
Contradicción[editar]
Artículo principal: Contradicción
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&\neg A&A\land \neg A\\\hline V&F&F\\F&V&F\\\hline \end{array}}$
Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso:
$A\land \neg A$
Procederemos de manera similar al caso anterior. Partiendo de la variable A y su contradicción, la conjunción de ambos siempre es falso, dado que si A es verdad su contradicción es falsa, y si A es falsa su contradicción es verdad, la conjunción de ambas da falso en todos los casos.
Desarrollo del algoritmo fundamental en lógica de circuitos[editar]
Artículo principal: Formas canónicas (álgebra de Boole)
Artículo principal: Circuito de conmutación
La definición de la tabla de verdad corresponde a funciones concretas, en cada caso, así como a implementaciones en cada una de las tecnologías que pueden representar funciones lógicas en binario, como las puertas lógicas o los circuitos de conmutación. Se entenderá como verdad la conexión que da paso a la corriente; en caso contrario se entenderá como falso. Veamos la presentación de los dieciséis casos que se presentan con dos variables binarias A y B:
Caso 1
Artículo principal: Tautología (lógica)
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.1\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
El primer caso en una función lógica que para todas las posibles combinaciones de A y B, el resultado siempre es verdadero, es un caso de tautología, su implementación en un circuito es una conexión fija.
$V\,$
Caso 2
Artículo principal: Disyunción lógica
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.2\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
En este segundo caso el resultado solo es falso si A y B son falsos, si una de las dos variables es verdad el resultado es verdad.
La función sería:
$A\lor B$
Caso 3
Artículo principal: Implicación opuesta
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.3\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
En el tercer caso es verdad si A es verdad y cuando A y B son falsos el resultado también es verdad.
Su función sería:
$A\lor \neg B$
Caso 4
Artículo principal: Afirmación lógica
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.4\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
En el cuarto caso la función es cierta si A es cierta, los posibles valores de B no influyen en el resultado.
La función solo depende de A:
$A\;$
Caso 5
Artículo principal: Condicional material
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.5\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
En el quinto caso si A es falso el resultado es verdadero, y si A y B son verdaderos el resultado también es verdadero, puede verse que este caso es idéntico al tercero permutando A por B.
Y si función es:
$\neg A\lor B=A\Rightarrow B$
Caso 6
Artículo principal: Afirmación lógica
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.6\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
En el sexto caso la función es cierta si B es cierta, los valores de A no influyen en el resultado.
La función solo depende de B:
$B\;$
Caso 7
Artículo principal: Bicondicional
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.7\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
El séptimo caso corresponde a la relación bicondicional entre A y B, el resultado solo es verdad si A y B son ambos verdad o si A y B son ambos falsos.
$(A\land B)\lor (\neg A\land \neg B)=A\Leftrightarrow B$
Caso 8
Artículo principal: Conjunción lógica
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.8\\\hline V&V&V\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
En el octavo caso el resultado es verdad si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es falso, corresponde a la conjunción de A y B, equivalente a un circuito en serie.
$A\land B$
Caso 9
Artículo principal: Conjunción opuesta
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.9\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
En el noveno caso el resultado solo es falso si A y B son verdad, en el resto de los valores de A y B el resultado es verdadero, corresponde a la disyunción de la negación A y de B, equivalente a un circuito en paralelo de conexiones inversas.
$\neg A\lor \neg B$
Caso 10
Artículo principal: Disyunción exclusiva
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.10\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
Podemos ver que el décimo caso es lo opuesto a la bicondicional, solo es verdad si A y B discrepan, si A y B son diferentes el valor es verdad, si A y B son iguales el resultado es falso.
$(A\land \neg B)\lor (\neg A\land B)$
Caso 11
Artículo principal: Negación lógica
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.11\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
En este caso podemos ver que cuando B es verdad el resultado es falso y que cuando B es falso el resultado es verdadero, independientemente del valor de A, luego la función solo depende de B, en sentido inverso.
$\neg B$
Caso 12
Artículo principal: Adjunción lógica
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.12\\\hline V&V&F\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
En el caso doce, vemos que solo hay un combinación de A y B con resultado verdadero, que es A y la negación de B.
$A\land \neg B$
Caso 13
Artículo principal: Negación lógica
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.13\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
En el caso decimotercero podemos ver que el resultado es el opuesto de A, independientemente del valor de B:
$\neg A$
Caso 14
Artículo principal: Adjunción opuesta
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.14\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&V\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
Caso decimocuarto, el resultado de la función solo es verdad si A es falso y B verdadero, luego es equivalente a un circuito en serie de A en conexión inversa y de B en conexión directa.
$\neg A\land B$
Caso 15
Artículo principal: Disyunción opuesta
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.15\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&V\\\hline \end{array}}$
En el caso decimoquinto, el resultado solo es verdad si A y B son falsos, Luego es necesario que tanto A como B sean falsos para que el resultado sea verdadero.
$\neg A\land \neg B$
Caso 16
Artículo principal: Contradicción
${\begin{array}{|c|c|c|}\hline A&B&c.16\\\hline V&V&F\\V&F&F\\F&V&F\\F&F&F\\\hline \end{array}}$
Por último en el caso decimosexto, tenemos que el resultado siempre es falso independientemente de los valores de A o de B.
$F\,$
Indeterminación o Contingencia[editar]
${\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 1&2&3&4&5\\\hline A&B&C&B\lor C&A\land (B\lor C)\\\hline V&V&V&V&V\\V&V&F&V&V\\V&F&V&V&V\\V&F&F&F&F\\F&V&V&V&F\\F&V&F&V&F\\F&F&V&V&F\\F&F&F&F&F\\\hline \end{array}}$
Se entiende por indeterminación o contingencia aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: $A\land (B\lor C)$ .
Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:
Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)
Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de $B\lor C$ aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)
Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna $B\lor C$ , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa $A\land (B\lor C)$ , cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)
Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición $A\land (B\lor C)$ es V y cuándo es F.